Algo curioso sobre a probabilidade é que ela pode, muitas vezes, ir completamente contra o que concluímos intuitivamente. O paradoxo do aniversário é uma excelente forma de mostrar isso.
Imagine que você quer juntar um grupo de pessoas, de forma que a chance de que pelo menos duas pessoas nesse grupo façam aniversário no mesmo dia seja de 50%. Quantas pessoas serão necessárias? 150? 200? Números grandes podem vir á nossa cabeça, mas segure em sua cadeira, pois a resposta são surpreendentes 23 pessoas!
Mas acalme-se! Você vai entender o porquê. Para isso, suponha que a chance de uma pessoa nascer em um dia do ano qualquer é igual para todos os dias do ano. Em seguida, vamos selecionar 23 pessoas aleatoriamente de modo que nenhuma delas faça aniversário no mesmo dia.
Para a primeira pessoa, temos 365 dias possíveis. Escolhemos um desses dias para ela. Queremos que a segunda não faça aniversário no mesmo dia que a primeira, logo, temos 365 dias, menos o que escolhemos para a primeira, ou seja, 364. Analogamente, 363 dias pra terceira, 362 pra quarta, […]. Isso nos dá 365 × 364 × … × 343, e diz-se que esse é o número de formas possíveis de se juntar 23 pessoas sem que nenhuma faça aniversário no mesmo dia.
Agora, veja que caso não houvesse essa restrição, ou seja, se as pessoas pudessem ou não fazer aniversário no mesmo dia, o número obtido seria 365²³, uma vez que são 365 dias pra primeira, 365 pra segunda, […] e 365 pra vigésima terceira.
Assim sendo, dentre as 365²³ formas de se juntar essas pessoas independente de seu nascimento, temos 365 × 364 × … × 343 formas possíveis de elas não fazerem aniversário no mesmo dia. Ou seja, a probabilidade de ninguém fazer aniversário no mesmo dia num grupo de 23 pessoas é 365 × 364 × … × 343/365²³ = 49%.
Se a chance de ninguém fazer aniversário no mesmo dia é de 49%, por consequência, a chance de alguém fazer aniversário no mesmo dia é de 51%! Mostrando, assim, que apenas 23 pessoas seriam o suficiente!
Se fizermos esse mesmo processo para grupos com mais de 57 pessoas, a chance de alguém fazer aniversário no mesmo dia é de mais de 99%. Incrível, não?